ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ МИКРОСТРУКТУРНЫХ, ПРОЧНОСТНЫХ И ПРОВОДЯЩИХ СВОЙСТВ YBCO КЕРАМИК
 
ПАРИНОВ И.А.

 
АННОТАЦИЯ

Обсуждаются результаты численного моделирования микроструктуры, прочности и проводимости сверхпроводящих керамик YBCO в рамках раннее развитого мониторинга свойств керамических материалов. Изучаются процессы мостикообразования, сковывающего берега растущей трещины. Получены эффективные оценки для прочности, вязкости и электропроводности керамики YBCO, спеченной в градиенте температур.

ВВЕДЕНИЕ

        Предсказание поведения сверхпроводящих YBa2Cu3O7-d керамик YBCO и оптимизация их прочностных и электромагнитных свойств невозможны без изучения и оценки факторов, влияющих на зарождение и развитие трещин, а также их связи с проводимостью материала. Эти характеристики, в первую очередь, определяются существенно неоднородной структурой керамики и способностью материала противодействовать внутренним и внешним физико-механическим воздействиям. В рамках общей концепции совместного исследования изготовления и разрушения керамики [1] некоторые основные механизмы упрочнения при разрушении YBCO и их совместные эффекты на изменение трещиностойкости уже изучены методами вычислительного эксперимента [2-4]. В частности, рассмотрены процессы микрорастрескивания и двойникования в окрестности макротрещины, отклонение от прямолинейности и ветвление трещины, а также мостикообразование за ее фронтом. Показано, что последний механизм является основным для YBa2Cu3O7-d керамик [3]. В отличие от сегнетоэлектрических составов, для которых двойникование играет основную роль в процессе упрочнения [5,6], в YBCO влияние этого эффекта незначительно [4].
        Целью настоящего исследования является изучение процессов мостикообразования, сковывающего берега развивающейся трещины в контексте устойчивости разрушения и получение эффективных оценок для прочности, вязкости и электропроводности керамики YBCO, спеченной в градиенте температур [2,3].

МОДЕЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ

        При моделировании процессов, сопровождающих изготовление и разрушение керамики реализована общая схема мониторинга [1].Предлагаемый подход опирается на результаты исследования градиентного спекания YBa2Cu3O7-d керамик [3] и составов цирконата-титаната-свинца (ЦТС) [7] методами вычислительного эксперимента. На модельной двухмерной сетке (25х40), с характерным размером квадратной ячейки d, каждой из которых соответствует частица порошка или пора, последовательно моделируется: (1) развитие теплового фронта в порошковом компакте с определением распределения температур в образце; (2) рекристаллизация пресспорошка в области температуры спекания, определенной тепловым фронтом, при условиях реально реализованного градиентного спекания YBCO [8]; (3) усадка образца с образованием закрытой пористости; (4) вторичная рекристаллизация или аномальный рост зерен, тормозимый примесными фазами на межзеренных границах и (5) растрескивание керамики при остывании от температуры спекания. Образец микроструктуры представлен на Рис. 1,а. Моделирование процессов спекания и остывания материала подробно рассмотрено в статье [3], поэтому здесь на этом вопросе больше останавливаться не будем.

ЭФФЕКТЫ МОСТИКООБРАЗОВАНИЯ

        Особенности разрушения керамики YBCO в большой степени определяются существованием анизотропии коэффициента теплового расширения (КТР) зерен в кристаллографическом направлении c0 вследствие того, что параметры кристаллической решетки a0 и b0 близки друг к другу, резко отличаясь от c0 [9]. Как и в других материалах, обладающих анизотропией КТР, в YBCO наблюдается повышение вязкости, Т, с увеличением длины трещины, с (эффект Т - кривой) [3]. Источником Т -кривой является формирование и последовательное разрушение мостиков в материале, которые действуют в качестве сдерживающих элементов позади вершины трещины. Особую роль в количественной интерпретации Т - кривых играют второстепенные фазы на межкристаллитных границах (в данном случае, система BaCuO2-CuO с включениями примесей [8]). С одной стороны, они охрупчивают межзеренные границы и приводят к уменьшению их вязкости, с другой - сдерживают рост зерен, обусловливая рост прочности керамики. Кроме того, в родственных материалах имеют место явления, указывающие на возможную стабилизацию роста трещины [10]: (1) значительное увеличение выдерживаемой нагрузки за пределами упругости, с последующим падением величины нагружения до некоторого ненулевого уровня; (2) зигзагообразное развитие трещины, обусловленное локальными неоднородностями; (3) разрывы траектории трещины, являющиеся областями неразрушившегося или удерживаемого трением материала, формирующего связи, которые ограничивают рост трещины и локализованного у больших зерен; (4) разрушение мостиков-зерен происходит по трансгранулярному механизму в условиях общего интеркристаллитного разрушения. Эти феномены свидетельствуют о существовании процессов мостикообразования за фронтом трещины в качестве эффективного механизма упрочнения. В связи с этим, ниже воспользуемся результатами [10] и идентифицируем три области поведения полумонетной трещины, измеряемой в радиальном направлении координатой, с: 1) для малых трещин (c < d), где d - средняя протяженность пространства между зернами-мостиками, продвижение трещины не ограничивается и T = T0 (T0 - присущая вязкость керамики) =(2g0E0m)1/2, где для межзеренного разрушения [3,11]: 2g0 = 2gs -gb (1-fm) - удельная поверхностная энергия; gs - поверхностная энергия при трансзеренном разрушении; g b - энергия разрушения границы зерна; fm - доля растресканных граней при остывании образца; E0m = E0m (E,n, fm,,Cp) - модуль Юнга пористого растресканного материала [3,12,13]; E, n - упругие модули бездефектной керамики; Cp - доля закрытой пористости; 2) для промежуточных трещин зона связей активна в области: d Ј c Ј c* и T > T0; 3) для длинных трещин (c > c*) происходит разрушение связей в точках, удаленных от вершины трещины, покидающей зону шириной, c* - d. Последняя распространяется во внешнюю область вместе с трещиной, при этом вязкость достигает максимального значения в устойчивом состоянии. Этой величине вязкости соответствует длина трещины c*, определяемая в виде [10]:

 c* = b {1 + [1 + 4(d / b )2]1/2} / 2                                           (1)

 где b = (E0mu*/Y T0)2, 2u* - величина раскрытия трещины длиной c*; Y =1.24 -геометрический параметр для полумонетной поверхностной трещины. Далее рассмотрим определяющие соотношения (т.е. напряжение в зависимости от перемещения) для сковывающих связей трех типов: s(u) = -s*(u / u*) - для упругих связей, где s* - максимальное напряжение, выдерживаемое связью; s(u) = -s*(1-u/u*)m - для связей, создаваемых сжатием зерен - мостиков, вследствие анизотропии КТР (m=1) и связей с трением (m=2). Тогда соответствующие микроструктурные вклады в значение вязкости имеют вид [10]: Tm = 0 при c < d; Tm = TҐ -T0 , при c > c* (для всех трех типов связей). В промежуточной области (d Ј c Ј c*) соответствующие вклады определяются в форме:

 Tm = (TҐ - T0)[c*(c2 - d2) / c(c*2 - d2)]1/2                               (2)

для упругих связей и

 Tm = (TҐ - T0){1 - {1 -[c*(c2 - d2) / c(c*2 - d2)]1/2}m+1}         (3)

для связей, обусловленных существованием анизотропии КТР (m = 1), и фрикционных связей (m = 2). Следуя [14], в рамках силового подхода используем метод суперпозиции и наложим на однородную движущую силу локальное внутреннее напряжение, обусловленное микроструктурными эффектами сопротивления разрушению.Тогда полный коэффициент интенсивности напряжений (КИН) имеет вид: K = Ka + Kr, где Ka = Y s a c1/2 - приложенный КИН при индектировании; s a - однородное внешнее напряжение. Локальный КИН определяется в форме: Kr = c P / c 3/2, c = 0.004 (Eom / H)1/2 - постоянная, зависящая от геометрии контакта и упруго - пластических свойств; H - твердость материала; P - контактная нагрузка. Предполагаем степенную зависимость вязкости от длины трещины [14]: T = T0 (c / d)t , где 0 < t < 0.5 (при t=0 - упрочнение отсутствует, а при t = 0.5 - катастрофическое разрушение не достигается). Тогда из условия равновесия: K = T, и условия перехода от устойчивого к неустойчивому развитию трещины: dK / dc = dT/dc, получим критическую длину трещины c* и приложенную нагрузку s*, при которой разрушение становится неустойчивым или катастрофическим [14,15]:

 c* = [4 c P dt / T0 (1 - 2 t )]2/(2t +3)                                                                  (4)

s * = [T0 (2 t +3) / 4 Y dt ]c*(2t -1)/2                                                              (5)

 
МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТИ КЕРАМИКИ

        Известно, что электрическая проводимость (величина обратная удельному сопротивлению) в неупорядоченной среде пропорциональна коэффициенту самодиффузии и, следовательно, среднеквадратичному смещению отдельных частиц жидкости в отсутствие внешней силы [16]. Рассмотрим модельную структуру YBCO в качестве перколяционного кластера, в котором занятыми ячейками являются зерна, а свободными - ячейки, содержащие поры. Перколяционные (проводящие) свойства ухудшаются вследствие существования межзеренных микротрещин и пористости. Однако, очевидно, что данная структура в любом случае обладает соединяющим перколяционным кластером, т.к. всегда выполняется неравенство:

 Cp + fb << pc                                         (6)

где Cp = Np / N - закрытая пористость керамики (Np - число ячеек, занятых порами и N - общее число ячеек); fb = lg / ll - отношение растресканных граней к общему числу границ между ячейками соединяющего кластера (очевидно, что fb < fm = lg / li, где li - общая длина межзеренных границ, т.к. li < ll ); pc = 0.5927 - порог перколяции для квадратной решетки.
        Для оценки электропроводности модельных структур модифицируем известный алгоритм "муравей в лабиринте", применяемый для описания диффузии в неупорядоченных средах [16]. Учтем кроме кристаллитной фазы и пор, наличие микротрещин на межзеренных границах, а также самих этих границ, обладающих меньшей проводимостью нежели внутрикристаллитное пространство. Рассмотрим движение случайным образом только по занятым ячейкам (кристаллитной фазе) перколяционного кластера. На любом временном шаге генерируем случайное число pk О [0,1] (где k = 1…4) в каждую из 4-х ближайших соседних ячеек (на квадратной сетке). При этом в случае, когда рассматриваемая ячейка отделена от основной межзеренной границей, ее случайное число уменьшаем на 0.1 (для обозначения приоритетности роста кластера внутри зерна). Если межзеренная граница заменена микротрещиной или соседняя ячейка является порой, то соответствующее случайное число полагаем равным 0. Рост кластера происходит посредством занятия ячейки с наибольшим случайным значением pk і pc. При невозможности роста кластера (исходная ячейка окружена порами, микротрещинами или все pk < pc ), его продвижение на данном шаге отсутствует. Далее весь процесс повторяется вновь. На каждом шаге, в том числе и при топтании на месте, время t увеличивается на единицу. В момент времени t = 0 движение начинается из случайным образом определенной ячейки соединяющего кластера; в момент времени t вычисляется квадрат расстояния между его начальным и конечным положением. Затем моделирование повторяется несколько раз и определяется среднеквадратичное смещение R, которое ассоциируется с проводимостью рассматриваемой модельной структуры. Пример роста кластера представлен на Рис. 2.

ОБСУЖДЕНИЕ ЧИСЛЕННЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ

         При проведении вычислительных экспериментов использовались параметры керамики YBa2Cu3O7-d , взятые из работы [3]. Получение статистически достоверных результатов было обусловлено применением стереологического подхода. Необходимое число реализаций статистического процесса для определения несмещенной оценки рассматриваемой стереологической характеристики получали по формуле [17]:

                                                  (7)

где y - уровень точности (в данном случае 10%); - среднее квадратичное отклонение; - среднее значение стереологической характеристики. При моделировании структуры YBCO в качестве такой характеристики, как и раньше, выбирали средний радиус зерна [3]. При исследовании процесса электропроводности предварительно рассматривался рост соединяющего кластера по типу оккупирующей перколяции [16] на двухмерной решетке (25 * 40 ячеек), образующего путь от левой до правой границы сетки. В качестве выбиралась ширина решетки (= 40), а величина  определялась через соответствующее превышение количества ячеек кластера над шириной сетки.
        Представленный вычислительный подход позволяет найти все микроструктурные параметры, необходимые для оценки транс- и интеркристаллитного разрушения, а также характеристики мостикообразования. Численные параметры, определяющие микроструктуру YBCO при различной начальной пористости пресспорошка, представлены в Табл. 1. Сначала находили среднюю длину отрезков границы зерен, l , и отношение максимального размера зерна к среднему, h . Далее, непосредственно на сетке выделяли зерна - мостики (каждый раз 10% от всех), выбирая самые большие зерна по аналогии с экспериментальными данными для родственных керамик, обладающих анизотропией КТР [18]. В качестве d рассматривали средний размер зерна - мостика. Затем моделировали трансзеренные разрушения мостиков и развитие трещины по межзеренной границе между ними (Рис. 1,б), используя алгоритм Виттерби теории графов для определения кратчайшего расстояния по сетке межзеренных границ [19], после чего находили долю трансзеренного разрушения, AT. При этом трансзеренные участки определялись характерным размером мостика, а интеркристаллитные - непосредственной траекторией трещины по межзеренной границе. Затем выбирали параметр u* в виде: u* / l ~ 0.01 для упругих и фрикционных связей [10], u* / l ~ h 2 e T - для связей, обусловленных анизотропией КТР зерен [20], где соответствующая деформация для YBCO равна e T = D a D Т ~ 3.1*10-3 [3]; D a =(a max -a min)/2 - приращение КТР; D Т - приращение температуры при остывании. Наконец, находили c* и Tm / (TҐ -T0) из формул (1) и (2).
        Как показывают численные результаты, величина l » 1.83d приблизительно одинакова для всех значений начальной пористости пресспорошка . Тогда представленная в Tабл.1 величина u* / l для случая сжимаемых зерен - мостиков хорошо совпадает со значениями для упругих и фрикционных связей. Отношение максимального размера зерна к среднему растет вместе с начальной пористостью, показывая увеличение неоднородности в распределениях размеров зерен. Это обусловлено опережающим уменьшением среднего размера зерна по сравнению с наибольшим. Далее, наблюдается корреляция между ростом среднего размера зерна при уменьшении начальной пористости [3] и поведением характерного размера мостика. Кроме того, полученные данные дают зависимость: d ~ l , качественно совпадающую с соответствующей зависимостью для родственных алюмооксидных керамик [10]. Межзеренное разрушение уменьшается с ростом начальной пористости, вследствие большей извилистости траектории трещины, соответствующей крупнозернистым структурам. Однако доля трансзеренного разрушения, AT, имеет неоднозначный характер, благодаря относительно большему выравниванию величины трансгранулярного разрушения для различных случаев. Таким образом, структура с наименьшим средним размером зерен ( = 60%), но обладающая самым большим значением h имеет повышенные эффекты упрочнения, коррелирующие с увеличенной долей трансзеренного разрушения [10]. С другой стороны, это подтверждает известный тезис о необходимости характеризовать структуру распределением размеров зерен, а не их максимальной (или минимальной) величиной.
        Параметрами, характеризующими способность материала сопротивляться разрушению, являются отношения: T* / T0 и c* / d. Численные результаты для второго из них представлены в Табл. 1, где верхняя строка соответствует упругим и фрикционным связям, а нижняя - эффекту сжимающих напряжений, обусловленных анизотропией КТР. Наблюдаемый рост параметра c* / d вместе с начальной пористостью для всех типов связей обусловлен соответствующим увеличением неоднородности структуры, h , и совпадает с экспериментальными данными для различных керамик [10,11,18]. На Рис. 3 представлены микроструктурные вклады: Tm / (TҐ -T0), определяемые механизмом мостикообразования в зависимости от длины трещины, c, для указанных типов связей в случае беспористой структуры (= 0%). Очевидно, что наибольший вклад в упрочнение вносят связи, обусловленные анизотропией КТР, наименьший - упругие связи, что также подтверждается экспериментально [11,18].

Таблица 1. Некоторые модельные параметры для керамики разных составов
 
 Свойства = 0% = 20% = 40% = 60%
h  1.498 1.636 1.758 1.842
АТ 0.312 0.293 0.274 0.442
d / d  3.423 3.270 3.028 2.646
u* / l  0.0070  0.0083 0.0096 0.0105
c* / d 10.56 

5.32 

11.05 

7.66

11.92 

10.98

13.62 

15.00

li / ll 0.503 0.523 0.557 0.630
S / S0 1.000 0.956 0.872 0.644
R / R0 1.000 0.866 0.846 0.785

Критические параметры c* и s* в зависимости от нагрузки P и различных степеней упрочнения t , для характерного размера зерна D/d = 2.20 представлены на Рис. 4. Результаты показывают увеличение критической длины трещины c* и уменьшение критического приложенного напряжения s* с ростом контактной нагрузки P вне зависимости от особенностей аномального роста зерен [3]. Однако изменения этих параметров со степенью упрочнения носят различный характер.
        Перколяционные свойства модельных микроструктур были оценены при t = 50 и представлены в Табл. 1. Среднеквадратичное смещение R / R0 (где R0 -соответствующее смещение, найденное для беспористого материала), пропорциональное электропроводности, убывает с ростом начальной пористости также, как и площадь (число ячеек) проводящего кластера S / S0 (S0 - площадь кластера в беспористом материале).Эти данные коррелируют с ростом межзеренных границ li / ll при увеличении начальной пористости  и уменьшением среднего размера зерна, полученным в [3]. Введение даже небольшой приоритетности роста проводящего кластера внутри зерна по сравнению с его прорастанием в соседнее (в данном случае - увеличение вероятности на 0.1) согласуется с экспериментом и приводит к качественному подтверждению известных результатов, данными численного моделирования, что свидетельствует о правомерности использованной модели. Более точные оценки можно получить в рамках представленной модели при условии количественного описания различия проводящих свойств внутри зерна и через межзеренную границу. Очевидно, оно будет зависеть от особенностей доменной структуры кристаллитов, сплошности межзеренных границ, параметров примесных фаз и других характеристик.

ВЫВОДЫ

        В настоящей работе в рамках ранее развитого мониторинга микроструктурных и прочностных свойств керамических материалов [1] получены первые результаты совместного исследования прочностных и проводящих свойств керамики YBCO. Такое рассмотрение особенно важно с точки зрения создания микроструктур с оптимальными характеристиками, вследствие существующей низкой прочности сверхпроводящих материалов и их работы в условиях высоких электромагнитных воздействий. Моделирование показало, что упрочнение необходимо характеризовать с помощью размерных распределений зерен, а не их экстремальными параметрами. При этом получен не вполне очевидный результат: структура (при = 60% ) с наименьшим средним размером зерна, но обладающая самым большим разбросом их размеров, имеет наибольшие эффекты упрочнения, определяемые долей трансзеренного разрушения. Рассмотренные три типа сдерживающих берега трещин связей подтвердили, что наибольший эффект вводит анизотропия КТР зерен, а наименьший - упругие связи. Исследование электропроводности подчеркнуло роль межзеренных границ и необходимость получения крупнозернистых структур. Таким образом, для создания оптимальных YBCO следует добиваться образования зерен сверхпроводящей фазы максимально допустимых размеров, не превышающих критической величины спонтанного растрескивания, и распределением, имеющим максимально возможный параметр структурной неоднородности h . Качественное согласие полученных результатов с экспериментом в каждом конкретном случае свидетельствует о достоверности и перспективности применения предложенного вычислительного подхода для исследования различных свойств YBCO керамик. Последующее уточнение результатов в первую очередь связано с наиболее полными экспериментальными данными, характеризующими изготовление, разрушение и использование в определенных условиях этих материалов.

ЛИТЕРАТУРА

1. Parinov I. A. About сreation of ceramic property monitoring // J. Russian Technology, 1993, V.1, N 3, P. 29-31.
2. Parinov I. A. Computer simulation of gradient sintering and microcracking of superconductive ceramics // Cryogenics, 1992, V. 32, P. 448-451.
3. Паринов И. А., Паринова Л. В. Спекание и разрушение ВТСП - керамики: возможности вычислительного эксперимента // СФХТ, 1994, T. 7, N 1, C. 80-92.
4. Паринов И. А., Паринова Л. В. Является ли двойникование эффективным механизмом упрочнения сверхпроводящих керамик? // СФХТ, 1994, V. 7, N 8-9, C. 1382 - 1389.
5. Parinov I. A. Ferroelectric ceramic toughening by fracture: computer models // Ferroelectric Lett., 1995, V. 19, N5/6, C. 157-162.
6. Parinov I. A. Domain structure and ferroelectric ceramic fracture // Ferroelectrics, 1995, V. 172, P. 253-256.
7. Карпинский Д. Н., Паринов И. А. Исследование процесса формирования микроструктуры пьезокерамики методом численного эксперимента // ПМТФ, 1992, N 1, C. 150-154.
8. Беляев А. В., Лебедев В. Н., Фесенко Е. Г. Особенности спекания керамики в градиенте температур // Проблемы ВТСП. Ростов-на-Дону: изд-во РГУ, 1990, ч. 1, C. 158-162.
9. Doverspike K., Hubbard C.R., Williams R.K., Alexander K.B., Brynestad J., Kroeger D.M. Anisotropic thermal expansion of the 1:2:4 yttrium barium copper oxide superconductor // Physica C, 1991, V.172, N 5-6, P. 486-490.
10. Cook R. F. Segregation effeсts in the fracture of brittle materials: Ca - Al2O3 // Acta Metall. et Mater., 1990, V.38, N 6, P. 1083-1100.
11. Bennison S. J. Lawn B. R. Role of interfacial grain - bridging sliding friction in the crack-resistance and strength properties of nontransforming ceramics // Acta Metall., 1989, V. 37, N 10, P. 2659-2671.
12. Hisao Banno. Effect of shape and volume fraction of closed pores on dielectric, elastic and electromechanical properties of dielectric and piezoelectric ceramics. - A theoretical approach // Am. Ceram. Soc. Bull., 1987, V. 66, N 9, P. 1332-1337.
13. Ромалис Н. Б., Тамуж В. П. Разрушение структурно - неоднородных тел. - Рига: Зинатне, 1989. - 224 с.
14. Cook R. F., Clarke D. R. Fracture stability, R - curves and strength variability // Acta Metall., 1988, V. 36, N 3, P. 555-562.
15. Mai Y.- W. Lawn B. R. Crack stability and toughness characteristics in brittle materials // Annual Rev. Mater. Sci., 1986, V.16, P. 415-439.
16. Гулд Х., Тобочник Я. Компьютерное моделирование в физике. - М.: Мир, 1990, ч. 2, 400 с.
17. Чернявский К.С. Стереология в металловедении. - М.: Металлургия, 1977, 280 с.
18. Vekinis G., Ashby M. F., Beaumont P. W. R - curve behaviour of Al203 ceramics // Acta Metall. et Mater., 1990, V. 38, N 6, P. 1151-1162.
19. Карпинский Д. Н., Паринов И. А. К расчету трещиностойкости керамики методом численного эксперимента // Проблемы прочности, 1991, N 7, C. 34-37.
20. Swain M. V. R - curve behaviour in a polycrystalline alumina material // J. Mater. Sci. Lett., 1986, V. 5, N 11, P. 1313-1315.

РЕФЕРАТ

В рамках раннее развитого мониторинга свойств керамических материалов представлены первые результаты совместного исследования методами вычислительного эксперимента микроструктурных, прочностных и проводящих свойств керамики YBCO, спеченной в градиенте температур. Такое рассмотрение особенно важно с точки зрения оптимизации характеристик сверхпроводящих материалов из-за их низкой прочности и благодаря необходимости выдерживать значительные электромагнитные воздействия при работе в различных устройствах. Рассмотрен наиболее эффективный механизм упрочнения при разрушении данных керамик: формирование мостиков за фронтом трещины. Изучены три типа связей, сдерживающих берега трещины: упругие, фрикционные и связи, обусловленные анизотропией теплового расширения зерен. Электропроводность исследована в рамках теории перколяции. Численные результаты получены в зависимости от начальной пористости пресспорошка, степени упрочнения и длины макротрещины. Даны рекомендации по оптимизации свойств сверхпроводящей керамики YBCO.

ПОДПИСИ ПОД РИСУНКАМИ

Рис.1. Фрагмент модельной микроструктуры YBCO керамики: (а) представление в ЭВМ (пористость заштрихована); цифрами обозначена очередность зарождения данного зерна при спекании; (б) траектория трещины (кружочки) между двумя зернами-мостиками (выделены черным), на межзеренных границах показаны микротрещины, образовавшиеся при остывании образца.

Рис. 2. Пример роста проводящего кластера; числами показаны вероятности захвата данной ячейки (в скобках приведены рассмотренные вероятности с учетом приоритета); крестиками показаны занятые кластером на предыдущем шаге ячейки; в соответствии с Рис. 1. обозначены микротрещины и пористость.

Рис. 3. Микроструктурные вклады, Tm/ (TҐ -T0), в упрочнение керамики упругих (1) и фрикционных (2) связей, а также связей, обусловленных анизотропией КТР зерен (3), в зависимости от длины трещины, с.

Рис. 4. Зависимость критических параметров s* и c* от контактной нагрузки P для двух степеней упрочнения: t = 0.25 (1) и t = 0.10 (2).