УГЛЕРОДНОЕ
ОХРУПЧИВАНИЕ И РАЗРУШЕНИЕ СВЕРХПРОВОДНИКА YBCO. II. СХЕМА МКЭ.
Паринов И. А.
НИИ механики и прикладной математики им. И. И.
Воровича Ростовского госуниверситета
РЕЗЮМЕ
В первой части
настоящего исследования [1] были получены определяющие уравнения для
углеродного охрупчивания высокотемпературного сверхпроводника YBCO, учитывающие совместные эффекты следующих физических
процессов: (а) диффузии углерода, (б) осаждения карбоната, (в) потока
немеханической энергии и (г) деформации композита "купрат/карбонат",
а также смоделировано разрушение материала. Во второй части обсуждается схема
метода конечных элементов (МКЭ) для уравнений, описывающих диффузию углерода и
поток немеханической энергии.
1.
ВВЕДЕНИЕ
В первой части
исследования углеродного охрупчивания высокотемпературного сверхпроводника YBa2Cu3O7-x (YBCO) [1] были получены определяющие уравнения, учитывающие
совместные эффекты следующих физических процессов: (а) диффузии углерода, (б)
осаждения карбоната, (в) потока немеханической энергии и (г) деформации
композита "купрат/карбонат". Кроме того, было выполнено моделирование
разрушения материала с помощью модели декогезии, учитывающей изменение во
времени энергии декогезии, вследствие зависящего от времени процесса осаждения
карбоната.
Определяющее
уравнение, описывающее диффузию углерода, имеет вид [1]:
(1.1)
здесь t и xk - как обычно, обозначают время и компоненты декартовых координат,
а полная концентрация углерода, CСT, определяется
только концентрацией углерода в карбонате, CС, в связи с отсутствием углерода в купрате:
(1.2)
где f - объемная доля карбоната в композите "купрат/карбонат".
Полный поток углерода в материале, , определяется в виде:
(1.3)
здесь поток углерода, , удовлетворяет соотношению [2]:
(1.4)
если углерод и сверхпроводник формируют
карбонат; R - газовая константа; Т -
абсолютная температура; CС, DС и QС - соответственно, концентрация,
коэффициент диффузии и тепловой поток углерода, обусловленный его транспортом в
карбонате. Концентрация углерода, также как и концентрации других компонент или
фаз, задается в молях на единицу объема.
Для химического
потенциала углерода в карбонате под напряжением, mС, имеем [1]:
(1.5)
где - химический
потенциал углерода в карбонате при отсутствии напряжения; - парциальный молярный объем углерода в карбонате, Mijkl - тензор упругих
податливостей сверхпроводника и sij - тензор приложенных напряжений.
Определяющее
уравнение, описывающее поток немеханической энергии, имеет вид [1]:
(1.6)
где r - массовая плотность материала; ср - удельная теплоемкость сверхпроводника при
постоянном давлении, - энтальпия, соответствующая формированию моля карбоната; - молярный объем карбоната и k - коэффициент
температуропроводности сверхпроводника.
Цель настоящей
работы - обсуждение схемы МКЭ для уравнений, описывающих диффузию углерода
(1.1) и поток немеханической энергии (1.6).
2. СХЕМА МКЭ
ДЛЯ МОДЕЛИ УГЛЕРОДНОГО ОХРУПЧИВАНИЯ
Рассмотрим схему МКЭ для
определяющих уравнений (1.1) и (1.6), описывающих, соответственно, диффузию углерода
и поток немеханической энергии. Следующие начальные и граничные условия
устанавливают определяющие соотношения:
, Т
= Т0, при
t = 0;
, на Sb; , на Sj
;
Т = Тs,
на ST; , на SF;
где и Т0 - соответственно,
начальные концентрация углерода и температура, которые могут изменяться в
объеме материала V. Если превышает конечную
растворимость углерода в твердом теле, то начальная концентрация углерода в
карбонате равна конечной растворимости углерода
в карбонате, а начальная объемная доля карбоната вычисляется в соответствии с (1.2). Аналогичное верно и для , которая является концентрацией углерода на Sb, представляющей часть
граничной поверхности S.
При вычислении СTS учитываются распределения
напряжений и температур; jС представляет поток углерода на Sj; jE является потоком тепла на SF, а Ts определяет температуру на ST. Отметим, что Sb È Sj = ST È SF = S. Величины , jС, Т и jE могут изменяться со временем.
Конечно-элементные
уравнения получим из вариационного описания потоков диффузии и энергии. Для
этой цели рассмотрим вариации концентрации углерода, dСС, и температуры, dТ, удовлетворяющие граничным
условиям. Поэтому:
dСС = 0, на
Sb (2.1)
dТ = 0, на ST
(2.2)
Умножим (1.1) на
вариацию концентрации углерода, удовлетворяющую (2.1), а затем проинтегрируем
по объему V. Тогда для любого момента
времени t, с учетом соотношений (1.3) - (1.5), получим:
(2.3)
Это соотношение упрощается, если в интервале
приращения времени, Dt, изменение объемной доли
карбоната включается в СС.
Величина Dt имеет порядок характерного
времени, определяемого диффузией и размером карбоната, или меньшее значение.
Затем:
(2.4)
Отметим, что СС
не является более концентрацией углерода в карбонате, а определяет его
концентрацию в той части материала, которая в момент времени, t, находится в форме
карбоната и занимает объем fV.
Пространственная
дискретизация получается при введении обычной конечно-элементной интерполяции
для концентрации углерода, объемной доли карбоната, температуры и следа
напряжений. Например, концентрация углерода вычисляется из узловых значений в
виде:
где aq и - соответственно, интерполяционная функция и
узловая концентрация для q - го узла. Подстановка (2.4)
в (2.3) и использование пространственной дискретизации приводит к
конечно-элементным уравнениям для диффузии углерода:
(2.5)
где
, ,
,
Производная по времени от концентрации углерода
аппроксимируется следующим образом:
(2.6)
Соотношение (2.5) выбирается в момент времени, t + Dt. Уравнение (2.6)
подставляется в (2.5) и после переноса члена в правую часть, имеем
соотношение, аналогичное полученному в [3], для
диффузии водорода в металле, обусловленной
градиентами концентрации и напряжений:
(2.7)
Матрицы
Сpq, и вычисляются с помощью
известных узловых значений объемной доли карбонатов, температуры и напряжения,
определенных на предыдущем шаге вычислений. Значение объемной доли карбоната
соответствует времени t.
Однако, значения температуры и напряжения соответствуют времени t + Dt, согласно обсуждению в
конце данного параграфа. Вектор Fp вычисляется из граничных условий в момент времени t + Dt. Отметим, что решение
уравнения (2.7) обеспечивает величину предварительной концентрации углерода, ,
которая, в соответствии с (2.4), должна представлять углерод в карбонате. Это
предварительное значение может быть использовано для определения полной
концентрации углерода:
а также для новой объемной доли карбоната, ft+Dt:
, (2.8)
где вычисляется на основе результатов для
температуры и напряжения, определенных на предыдущем шаге.
Новая концентрация углерода
в карбонате получается из уравнений (2.8):
Далее, получим
конечно-элементные уравнения для потока немеханической энергии. Соотношение (1.6) умножим на вариацию температуры, удовлетворяющую
уравнению (2.2), с последующим интегрированием по объему V. В результате получим
выражение, выполняющееся в любой момент времени, t:
Также как и в случае диффузии углерода, вводится
пространственная дискретизация, и получаются следующие конечно-элементные
уравнения:
(2.9)
где
, ,
, ,
Полагая производную температуры по времени в виде:
и следуя подходу для диффузии углерода, из (2.9)
получим систему алгебраических уравнений:
здесь вычисляется из граничных условий в момент t + Dt. Для оценки используются узловые значения температуры,
концентрации углерода, объемной доли карбоната и напряжения, полученные на
предыдущем шаге.
Полный
цикл вычислений состоит в следующем. В момент времени t все полевые величины
известны: ,
где ui - компоненты вектора
перемещений для материальной частицы. Рассматривается приращение времени, Dt, и выполняются следующие вычисления:
(1)
Первой
решается задача деформирования материала. Определяются граничные условия при
действующих нагрузках и/или перемещениях в момент времени t + Dt. Вычисляется скорость
деформации изотропного расширения, вследствие формирования карбоната и
температурного расширения, используя значения и скорости изменения концентрации углерода, объемной доли
карбонатов и температуры в момент времени t. Параметры модели декогезии также определяются с помощью объемной доли
карбонатов и распределения температур в момент времени t. При выполнении вычислений
на шаге (1) вычисляются: .
(2)
Далее
решается задача для потока энергии. Граничные условия, обусловленные
приложенной температурой на поверхности и/или потоком тепла, определяются в
момент времени t + Dt. Вычисляется член на основе распределений температур,
концентрации углерода и объемной доли карбонатов в момент времени t, а также распределения
напряжений, ,
полученных на шаге (1). Скорость изменения
объемной доли карбонатов в момент времени t используется для определения члена Lqs. При завершении вычислений на шаге (2) вычисляется Тt+Dt.
(3)
В
конце решается задача диффузии углерода. Граничные условия определяются для
приложенной на поверхности концентрации углерода и/или потока углерода в момент
времени t + Dt. Везде используется ft.
Член вычисляется на основе значений и Тt+Dt, полученных, соответственно,
на шаге (1) и (2). При завершении вычислений на шаге (3) вычисляются и ft+Dt.
Задача
о деформации материала решается в предположении постоянного значения модуля
Юнга. Ошибка в вычислениях далее может быть минимизирована рассмотрением
значения Е для температуры в области
вершины трещины, где действуют процессы охрупчивания и разрушения. Когда
изменения температуры либо в пространстве, либо во времени значительны, ее
воздействие на упругие модули должно учитываться (см., например, [4]).
3.
ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
В настоящей
работе обсуждается схема МКЭ для определяющих уравнений, описывающих диффузию
углерода и поток немеханической энергии в композите
"купрат/карбонат", которые были получены в рамках модели углеродного
охрупчивания и разрушения YBCO, развитой в
первой части настоящего исследования [1]. Конечно-элементные уравнения
получаются из вариационного описания потоков диффузии и энергии. Полный цикл
вычислений сводится к последовательному решению трех задач: (1) деформирования
материала, (2) потока энергии и (3) диффузии углерода. Адекватные численные
результаты с использованием представленной схемы МКЭ могут быть получены после
предварительного проведения экспериментов, позволяющих оценить необходимые для
вычислений характеристики углерода, купрата, карбоната и сверхпроводника YBCO.
Работа
выполнена в рамках гранта Российского Фонда Фундаментальных Исследований N04-01-96800.
1. Паринов И. А.
Углеродное охрупчивание и разрушение сверхпроводника YBCO. I. Определяющие уравнения. Механика
композиционных материалов и
конструкций, 2005, т. 11.
2.
Shewmon P. G. Diffusion in Solids.
Pennsylvania, Warendale: The Minerals, Metals & Materials Society, 1989. 346 p.
3.
Sofronis P., McMeeking R. M. Numerical analysis
of hydrogen transport near a blunting crack-tip. J. Mech. Phys. Solids, 1989,
v. 37, N 3, p. 317-350.
4.
Povirk G. L., Needleman A., Nutt S. R. An
analysis of residual stress formation in whisker-reinforced Al-SiC composites.
Mater. Sci. Engineer., 1990, v. A125, p. 129-140.
I. A. Parinov
Сarbon embrittlement and fracture of YBCO
superconductor. II. FEM- scheme.
СПИСОК
ПРИНЯТЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ
aq - интерполяционная функция для q - го узла
ср - удельная теплоемкость
сверхпроводника при постоянном давлении
CС - концентрация углерода
- узловая концентрация углерода для q - го узла
CСT - полная концентрация
углерода
- начальная
концентрация углерода
- концентрация
углерода на поверхности Sb
DС - коэффициент диффузии
углерода
E - модуль Юнга
f - объемная доля карбоната в
материале
- компоненты потока углерода
- компоненты полного потока углерода в
композите "купрат/карбонат"
k - коэффициент температуропроводности сверхпроводника
Mijkl - тензор упругих податливостей
сверхпроводника
QС - тепловой поток,
обусловленный транспортом углерода в карбонате
R - газовая константа
S - площадь поверхности
Sb, SF, ST, Sj -
части граничной поверхности S
t - время
Т - абсолютная температура
Т0 - начальная температура
Ts - температура на ST
ui - компоненты вектора перемещений
V - объем
- молярный объем карбоната
- молярный объем углерода в карбонате
xi - декартовы координаты
dСС - вариация концентрации углерода
dТ -
вариация температуры
eij - компоненты тензора
деформаций
jС - поток углерода на Sj
jE - поток тепла на SF
m car - химический потенциал
карбоната
m С -
химический потенциал углерода в карбонате при наличиии
напряжений
- химический
потенциал углерода в карбонате при отсутствия
напряжений
r - массовая плотность
материала
sij - компоненты тензора
напряжений
- энтальпия, соответствующая формированию моля карбоната
Dt - приращение времени
СВЕДЕНИЯ ОБ
АВТОРЕ
Паринов Иван
Анатольевич
- кандидат физико-математических наук, заведующий лабораторией НИИ механики и
прикладной математики им. И. И. Воровича Ростовского госуниверситета.
Домашний адрес: 344007 г. Ростов-на-Дону, ул.
Серафимовича, 14, кв. 22
Домашний телефон: (863) 267-28-59
Служебный телефон: (863) 243-46-88
e-mail: ppr@math.rsu.ru
http://www.math.rsu.ru/niimpm/strl/welcome.en.html
АДРЕС ДЛЯ
ПЕРЕПИСКИ
344090 г. Ростов-на-Дону, пр. Стачки, 200/1, НИИ
механики и прикладной математики Ростовского госуниверситета, Паринову И.А.
Телефон: (863) 243-46-88
ФАКС: (863)243-47-11
E-mail: ppr@math.rsu.ru
http://www.math.rsu.ru/niimpm/strl/welcome.en.html
Автор статьи:
Паринов И. А. “УГЛЕРОДНОЕ ОХРУПЧИВАНИЕ И РАЗРУШЕНИЕ СВЕРХПРОВОДНИКА YBCO. II. СХЕМА МКЭ.” не возражает против перепечатки статьи в зарубежном издательстве.
И. А. Паринов
11 апреля 2005г.