УГЛЕРОДНОЕ ОХРУПЧИВАНИЕ И РАЗРУШЕНИЕ СВЕРХПРОВОДНИКА YBCO. II.  СХЕМА МКЭ.

 

Паринов И. А.

 

НИИ механики и прикладной математики им. И. И. Воровича Ростовского госуниверситета

 

РЕЗЮМЕ

 

В первой части настоящего исследования [1] были получены определяющие уравнения для углеродного охрупчивания высокотемпературного сверхпроводника YBCO, учитывающие совместные эффекты следующих физических процессов: (а) диффузии углерода, (б) осаждения карбоната, (в) потока немеханической энергии и (г) деформации композита "купрат/карбонат", а также смоделировано разрушение материала. Во второй части обсуждается схема метода конечных элементов (МКЭ) для уравнений, описывающих диффузию углерода и поток немеханической энергии.

 

1. ВВЕДЕНИЕ

 

В первой части исследования углеродного охрупчивания высокотемпературного сверхпроводника YBa2Cu3O7-x (YBCO) [1] были получены определяющие уравнения, учитывающие совместные эффекты следующих физических процессов: (а) диффузии углерода, (б) осаждения карбоната, (в) потока немеханической энергии и (г) деформации композита "купрат/карбонат". Кроме того, было выполнено моделирование разрушения материала с помощью модели декогезии, учитывающей изменение во времени энергии декогезии, вследствие зависящего от времени процесса осаждения карбоната.

Определяющее уравнение, описывающее диффузию углерода, имеет вид [1]:

 

                                                                                             (1.1)      

 

здесь t и xk - как обычно, обозначают время и компоненты декартовых координат, а полная концентрация углерода, CСT, определяется только концентрацией углерода в карбонате, CС, в связи с отсутствием углерода в купрате:

 

                                                                                                      (1.2)      

где f - объемная доля карбоната в композите "купрат/карбонат". Полный поток углерода в материале, , определяется в виде:

 

                                                                                                       (1.3)      

 

здесь поток углерода, , удовлетворяет соотношению [2]:

 

                                                                      (1.4)      

 

если углерод и сверхпроводник формируют карбонат; R - газовая константа; Т - абсолютная температура; CС, DС и QС - соответственно, концентрация, коэффициент диффузии и тепловой поток углерода, обусловленный его транспортом в карбонате. Концентрация углерода, также как и концентрации других компонент или фаз, задается в молях на единицу объема.

Для химического потенциала углерода в карбонате под напряжением, mС, имеем [1]:

 

                                                        (1.5)        

 

где  - химический потенциал углерода в карбонате при отсутствии напряжения;  - парциальный молярный объем углерода в карбонате, Mijkl - тензор упругих податливостей сверхпроводника и sij - тензор приложенных напряжений.

Определяющее уравнение, описывающее поток немеханической энергии, имеет вид [1]:

 

                                                (1.6)          

 

где r - массовая плотность материала; ср - удельная теплоемкость сверхпроводника при постоянном давлении, - энтальпия, соответствующая формированию моля карбоната; - молярный объем карбоната и k - коэффициент температуропроводности сверхпроводника.

Цель настоящей работы - обсуждение схемы МКЭ для уравнений, описывающих диффузию углерода (1.1) и поток немеханической энергии (1.6).

 

 

2. СХЕМА МКЭ ДЛЯ МОДЕЛИ УГЛЕРОДНОГО ОХРУПЧИВАНИЯ

 

Рассмотрим схему МКЭ для определяющих уравнений (1.1) и (1.6), описывающих, соответственно, диффузию углерода и поток немеханической энергии. Следующие начальные и граничные условия устанавливают определяющие соотношения:

 

                              ,      Т = Т0,       при  t = 0;          

                                                                  

                              ,      на Sb;         ,              на  Sj ;            

                                                       

                                 Т = Тs,              на ST;         ,        на  SF;         

                                                        

где  и Т0 - соответственно, начальные концентрация углерода и температура, которые могут изменяться в объеме материала V. Если превышает конечную растворимость углерода в твердом теле, то начальная концентрация углерода в карбонате равна конечной растворимости углерода в карбонате, а начальная объемная доля карбоната вычисляется в соответствии с (1.2). Аналогичное верно и для , которая является концентрацией углерода на Sb, представляющей часть граничной поверхности S. При вычислении СTS учитываются распределения напряжений и температур; jС представляет  поток углерода на Sj; jE является потоком тепла на SF, а Ts определяет температуру на ST.  Отметим, что Sb È Sj = ST È SF  = S. Величины , jС, Т и jE могут изменяться со временем.

          Конечно-элементные уравнения получим из вариационного описания потоков диффузии и энергии. Для этой цели рассмотрим вариации концентрации углерода, dСС, и температуры, dТ, удовлетворяющие граничным условиям. Поэтому:

 

                       dСС = 0,         на  Sb                                                                  (2.1)

 

                       dТ = 0,           на ST                                                                    (2.2)

 

Умножим (1.1) на вариацию концентрации углерода, удовлетворяющую (2.1), а затем проинтегрируем по объему V. Тогда для любого момента времени t, с учетом соотношений (1.3) - (1.5), получим:

 

 (2.3)  

                                                              

Это соотношение упрощается, если в интервале приращения времени, Dt, изменение объемной доли карбоната включается в СС. Величина Dt имеет порядок характерного времени, определяемого диффузией и размером карбоната, или меньшее значение. Затем:

 

                                                                                             (2.4)

 

Отметим, что СС не является более концентрацией углерода в карбонате, а определяет его концентрацию в той части материала, которая в момент времени, t, находится в форме карбоната и занимает объем  fV.

          Пространственная дискретизация получается при введении обычной конечно-элементной интерполяции для концентрации углерода, объемной доли карбоната, температуры и следа напряжений. Например, концентрация углерода вычисляется из узловых значений в виде:

 

                                                                                                                                                               

 

где aq и  - соответственно, интерполяционная функция и узловая концентрация для q - го узла. Подстановка (2.4) в (2.3) и использование пространственной дискретизации приводит к конечно-элементным уравнениям для диффузии углерода:

 

                                                                        (2.5)

где

                   ,    ,          

                                                                           

  ,                                      

                 

Производная по времени от концентрации углерода аппроксимируется следующим образом:

                                                                           (2.6)

 

Соотношение (2.5) выбирается в момент времени, t + Dt. Уравнение (2.6) подставляется в (2.5) и после переноса члена  в правую часть, имеем соотношение, аналогичное полученному в [3], для диффузии водорода в металле, обусловленной градиентами концентрации и напряжений:

 

                                        (2.7)

 

          Матрицы Сpq,  и  вычисляются с помощью известных узловых значений объемной доли карбонатов, температуры и напряжения, определенных на предыдущем шаге вычислений. Значение объемной доли карбоната соответствует времени t. Однако, значения температуры и напряжения соответствуют времени t + Dt, согласно обсуждению в конце данного параграфа. Вектор Fp вычисляется из граничных условий в момент времени t + Dt. Отметим, что решение уравнения (2.7) обеспечивает величину предварительной концентрации углерода, , которая, в соответствии с (2.4), должна представлять углерод в карбонате. Это предварительное значение может быть использовано для определения полной концентрации углерода:            

                                     

                                                                                          

 

а также для новой объемной доли карбоната, ft+Dt:

 

               ,                             (2.8)                                                                          

                                                                                                  

где  вычисляется на основе результатов для температуры и напряжения, определенных на предыдущем шаге.

Новая концентрация углерода в карбонате получается из уравнений (2.8):

 

                                

                                                                    

Далее, получим конечно-элементные уравнения для потока немеханической энергии. Соотношение (1.6) умножим на вариацию температуры, удовлетворяющую уравнению (2.2), с последующим интегрированием по объему V. В результате получим выражение, выполняющееся в любой момент времени, t:

 

     

Также как и в случае диффузии углерода, вводится пространственная дискретизация, и получаются следующие конечно-элементные уравнения:

 

                                                              (2.9)

где

             ,     ,     

                                                                                     

       ,    ,      

                                                                              

Полагая производную температуры по времени в виде:

 

                                                                                                                       

 

и следуя подходу для диффузии углерода, из (2.9) получим систему алгебраических уравнений:

 

                               

                               

здесь  вычисляется из граничных условий в момент t + Dt. Для оценки  используются узловые значения температуры, концентрации углерода, объемной доли карбоната и напряжения, полученные на предыдущем шаге.

          Полный цикл вычислений состоит в следующем. В момент времени t все полевые величины известны: , где ui - компоненты вектора перемещений для материальной частицы. Рассматривается приращение времени, Dt, и выполняются следующие вычисления:

(1)  Первой решается задача деформирования материала. Определяются граничные условия при действующих нагрузках и/или перемещениях в момент времени t + Dt. Вычисляется скорость деформации изотропного расширения, вследствие формирования карбоната и температурного расширения, используя значения и скорости изменения концентрации углерода, объемной доли карбонатов и температуры в момент времени t. Параметры модели декогезии также определяются с помощью объемной доли карбонатов и распределения температур в момент времени t. При выполнении вычислений на шаге (1) вычисляются: .

(2)  Далее решается задача для потока энергии. Граничные условия, обусловленные приложенной температурой на поверхности и/или потоком тепла, определяются в момент времени t + Dt. Вычисляется член  на основе распределений температур, концентрации углерода и объемной доли карбонатов в момент времени t, а также распределения напряжений, , полученных на шаге (1). Скорость изменения объемной доли карбонатов в момент времени t используется для определения члена Lqs. При завершении вычислений на шаге (2) вычисляется Тt+Dt.

(3)  В конце решается задача диффузии углерода. Граничные условия определяются для приложенной на поверхности концентрации углерода и/или потока углерода в момент времени t + Dt. Везде используется ft. Член  вычисляется на основе значений  и Тt+Dt, полученных, соответственно, на шаге (1) и (2). При завершении вычислений на шаге (3) вычисляются  и ft+Dt.

          Задача о деформации материала решается в предположении постоянного значения модуля Юнга. Ошибка в вычислениях далее может быть минимизирована рассмотрением значения Е для температуры в области вершины трещины, где действуют процессы охрупчивания и разрушения. Когда изменения температуры либо в пространстве, либо во времени значительны, ее воздействие на упругие модули должно учитываться (см., например, [4]).

 

3. ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ

 

В настоящей работе обсуждается схема МКЭ для определяющих уравнений, описывающих диффузию углерода и поток немеханической энергии в композите "купрат/карбонат", которые были получены в рамках модели углеродного охрупчивания и разрушения YBCO, развитой в первой части настоящего исследования [1]. Конечно-элементные уравнения получаются из вариационного описания потоков диффузии и энергии. Полный цикл вычислений сводится к последовательному решению трех задач: (1) деформирования материала, (2) потока энергии и (3) диффузии углерода. Адекватные численные результаты с использованием представленной схемы МКЭ могут быть получены после предварительного проведения экспериментов, позволяющих оценить необходимые для вычислений характеристики углерода, купрата, карбоната  и сверхпроводника YBCO.

 

Работа выполнена в рамках гранта Российского Фонда Фундаментальных Исследований N04-01-96800.

 

ЛИТЕРАТУРА

 

1.      Паринов И. А. Углеродное охрупчивание и разрушение сверхпроводника YBCO. I. Определяющие уравнения. Механика композиционных материалов и  конструкций, 2005, т. 11.

2.      Shewmon P. G. Diffusion in Solids. Pennsylvania, Warendale: The Minerals, Metals & Materials Society, 1989. 346 p.

3.      Sofronis P., McMeeking R. M. Numerical analysis of hydrogen transport near a blunting crack-tip. J. Mech. Phys. Solids, 1989, v. 37, N 3, p. 317-350.

4.      Povirk G. L., Needleman A., Nutt S. R. An analysis of residual stress formation in whisker-reinforced Al-SiC composites. Mater. Sci. Engineer., 1990, v. A125, p. 129-140.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I. A. Parinov

Сarbon embrittlement and fracture of YBCO superconductor. II. FEM- scheme.

 

СПИСОК ПРИНЯТЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ

 

aq   - интерполяционная функция для q - го узла

ср - удельная теплоемкость сверхпроводника при постоянном давлении

CС - концентрация углерода

 - узловая концентрация углерода для q - го узла

CСT - полная концентрация углерода

 - начальная концентрация углерода

 - концентрация углерода на поверхности Sb

DС - коэффициент диффузии углерода

E - модуль Юнга

f - объемная доля карбоната в материале

 - компоненты потока углерода

 - компоненты полного потока углерода в композите "купрат/карбонат"

k - коэффициент температуропроводности сверхпроводника

Mijkl - тензор упругих податливостей сверхпроводника

QС - тепловой поток, обусловленный транспортом углерода в карбонате

R - газовая константа

S - площадь поверхности

Sb, SF, ST, Sj  - части граничной поверхности S

t - время

Т - абсолютная температура

Т0 - начальная температура

Ts - температура на ST

ui - компоненты вектора перемещений

V - объем

- молярный объем карбоната

- молярный объем углерода в карбонате

xi - декартовы координаты

dСС - вариация концентрации углерода

dТ - вариация температуры

eij - компоненты тензора деформаций

jС -  поток углерода на Sj

jE - поток тепла на SF

m car - химический потенциал карбоната

m С  - химический потенциал углерода в карбонате при наличиии 

         напряжений

 - химический потенциал углерода в карбонате при отсутствия

         напряжений

r - массовая плотность материала

sij - компоненты тензора напряжений

- энтальпия, соответствующая формированию моля карбоната

Dt - приращение времени

 

 

СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРЕ

 

Паринов Иван Анатольевич - кандидат физико-математических наук, заведующий лабораторией НИИ механики и прикладной математики им. И. И. Воровича Ростовского госуниверситета.

Домашний адрес: 344007 г. Ростов-на-Дону, ул. Серафимовича, 14, кв. 22

Домашний телефон: (863) 267-28-59

Служебный телефон: (863) 243-46-88

e-mail: ppr@math.rsu.ru

http://www.math.rsu.ru/niimpm/strl/welcome.en.html

 

 

АДРЕС ДЛЯ ПЕРЕПИСКИ

 

344090 г. Ростов-на-Дону, пр. Стачки, 200/1, НИИ механики и прикладной математики Ростовского госуниверситета, Паринову И.А.

 

Телефон: (863) 243-46-88

 

ФАКС: (863)243-47-11

 

E-mail: ppr@math.rsu.ru

 

http://www.math.rsu.ru/niimpm/strl/welcome.en.html

 

 

 

 

 

 

Автор статьи: Паринов И. А. “УГЛЕРОДНОЕ ОХРУПЧИВАНИЕ И РАЗРУШЕНИЕ СВЕРХПРОВОДНИКА YBCO. II. СХЕМА МКЭ.” не возражает против перепечатки статьи в зарубежном издательстве.

 

                                                                            

                                                                                                    И. А. Паринов                                                                             

 

    11 апреля 2005г.